¿Alguien puede explicarme la hipótesis de Riemann?

Tienes la función zeta de riemann, que es una función compleja. La hipótesis es que los ceros no triviales de dicha función tienen todos parte real igual a 1/2.
La función:


s es un complejo. Lo que se intenta demostrar es que esa función vale 0 solo para los s que tienen parte real 0.5 (además de los llamados ceros triviales).

Además, Euler demostró que se puede expresar esa función como un productorio de números primos, por eso es tan importante:

El P vs NP lo veo aún más complejo de demostrar. Está relacionado con la programación y la algoritmia. Lo que se pretende demostrar o refutar es si el conjunto de problemas resolubles en tiempo polinomial es igual al conjunto de problemas comprobable en tiempo polinomial. O lo que es lo mismo, que si puedo comprobar "fácilmente" si la solución de un problema es correcta, entonces también puedo resolverlo "fácilmente". A priori parece evidente que no, pero lo difícil es demostrarlo.

Iniciado por dinpolero

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Además, Euler demostró que se puede expresar esa función como un productorio de números primos, por eso es tan importante:

Qué aplicación tendría lo de los números primos o la demostración de P vs NP?

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El P vs NP lo veo aún más complejo de demostrar. Está relacionado con la programación y la algoritmia. Lo que se pretende demostrar o refutar es si el conjunto de problemas resolubles en tiempo polinomial es igual al conjunto de problemas comprobable en tiempo polinomial. O lo que es lo mismo, que si puedo comprobar "fácilmente" si la solución de un problema es correcta, entonces también puedo resolverlo "fácilmente". A priori parece evidente que no, pero lo difícil es demostrarlo.

Qué paranoia. Por ejemplo. Si tienes diferentes soluciones para una ecuación y las sustituyes y ves que son correctas, entonces quiere decir que podrías resolver la ecuación "fácilmente" por muy difícil que sea?

Iniciado por guitarraparalela

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Qué aplicación tendría lo de los números primos o la demostración de P vs NP?

Realmente solo demostrar la hipótesis no mucha porque se toma siempre como válida aunque no esté demostrada (se han probado muuuuuuuuuuchos valores y se cumple para todos). Lo que de verdad tendría importancia sería encontrar la distribución de los ceros. Si conoces todos los ceros, puedes definir con ellos la función entonces conocer también la distribución de los primos mediante la equivalencia de Euler.


La demostración de P vs NP sería enorme: si puedo comprobar en tiempo polinomial, entonces significaría que puedo encontrar un algoritmo polinomial para resolverlo. De forma resumida, se demostraría que puedo resolver de forma fácil todos los problemas que puedo comprobar de forma fácil.

Iniciado por guitarraparalela

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Qué paranoia. Por ejemplo. Si tienes diferentes soluciones para una ecuación y las sustituyes y ves que son correctas, entonces quiere decir que podrías resolver la ecuación "fácilmente" por muy difícil que sea?

Exacto, es un buen ejemplo. Si puedo comprobarlo "fácilmente" entonces puedo resolverlo "fácilmente" si P=NP. Pero todo parece indicar que P no es igual a NP.

Iniciado por dinpolero

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Realmente solo demostrar la hipótesis no mucha porque se toma siempre como válida aunque no esté demostrada (se han probado muuuuuuuuuuchos valores y se cumple para todos). Lo que de verdad tendría importancia sería encontrar la distribución de los ceros. Si conoces todos los ceros, puedes definir con ellos la función entonces conocer también la distribución de los primos mediante la equivalencia de Euler.


La demostración de P vs NP sería enorme: si puedo comprobar en tiempo polinomial, entonces significaría que puedo encontrar un algoritmo polinomial para resolverlo. De forma resumida, se demostraría que puedo resolver de forma fácil todos los problemas que puedo comprobar de forma fácil.

Si se demuestra P vs NP, la criptografía por ejemplo podría verse afectada?

Joder tio, es muy sencillo. Veras, En matemáticas puras, la hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s).1​

La hipótesis de Riemann, por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea.2​ El Instituto Clay de Matemáticas ha ofrecido un premio de un millón de dólares a la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.3​




Índice
1 Definición
2 Historia
3 La hipótesis de Riemann y los números primos
4 Cálculo numérico
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Definición
La función zeta de Riemann ζ(s) está definida en los números complejos como la suma de una serie infinita de la siguiente forma:


{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }
y es convergente cuando la parte real es estrictamente mayor que 1. Leonhard Euler (que murió 43 años antes de que Riemann naciera) demostró que esta serie equivale al producto de Euler:


{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }
donde el producto infinito se extiende sobre el conjunto de todos los números primos p, y de nuevo converge para los complejos s cuya parte real sea mayor que 1. La convergencia del producto de Euler muestra que ζ(s) no tiene ceros en esta región, puesto que ninguno de los factores tiene ceros. La hipótesis de Riemann trata de los ceros fuera de la región de convergencia de la suma de la serie descrita anteriormente y del producto de Euler asociado. Para preservar el sentido de esta hipótesis es necesario prolongar analíticamente la función zeta de Riemann ζ(s) de forma que tenga sentido para cualquier valor de s. En particular se puede expresar mediante la siguiente ecuación funcional:


{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \operatorname {sen} \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!}{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \operatorname {sen} \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!}
válida para todos los números complejos excepto para s = 1, donde la función tiene un polo. Como se decía anteriormente, la hipótesis de Riemann trata de los ceros de esta versión de la función zeta extendida analíticamente. Esta posee ciertos valores, llamados ceros "triviales", para los cuales la función zeta se anula. De la ecuación se puede ver que s = −2, s = −4, s = −6, ... (todos los enteros pares negativos) son ceros triviales. Así mismo existen otros valores complejos s, que cumplen la condición 0 < Re(s) < 1, para los cuales la función zeta también se anula, son los llamados ceros "no triviales". La conjetura de Riemann hace referencia a estos ceros no triviales afirmando:


La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2


Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica s = 1/2 + i t, donde t es un número real e i es la unidad imaginaria. La función zeta de Riemann, a lo largo de la línea crítica ha sido estudiada en términos de la función Z, cuyos ceros corresponden a los ceros de la función zeta sobre la línea crítica.


Historia
"...es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien."


("…es muy probable que todas las raíces sean reales. Claro que uno desearía tener una demostración rigurosa; Por el momento, tras algunos intentos fugaces en vano, he pospuesto su búsqueda, ya que parece ser prescindible para lograr el objetivo inmediato de mi investigación.")
Afirmación de Riemann sobre la hipótesis de Riemann, de (Riemann, 1859). (Aquí habla de una versión de la función zeta de Riemann, modificada para que sus raíces (ceros) sean reales en vez de estar en la línea crítica.)
Riemann mencionó la conjetura en 1859, que sería llamada la hipótesis de Riemann, en su tesis de doctorado Sobre los números primos menores que una magnitud dada, al desarrollar una fórmula explícita para calcular la cantidad de primos menores que x. Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración. Él sabía que los ceros no triviales de la función zeta están distribuidos en torno a la recta s = 1/2 + i t, y sabía también que todos los ceros no triviales debían estar en el rango 0 ≤ Re(s) ≤ 1.4​


En 1896, Hadamard y de la Vallée-Poussin probaron independientemente, que ningún cero podía estar sobre la recta Re(s) = 1. Junto con las otras propiedades de los ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la banda crítica 0 < Re(s) < 1. Este fue un paso fundamental para las primeras demostraciones del teorema de los números primos.


En 1900, Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos — es parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la conjetura de Goldbach. Cuando se le preguntó qué haría si se despertara habiendo dormido quinientos años, remarcablemente Hilbert contestó que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada. La hipótesis de Riemann es el único problema de los que propuso Hilbert que está en el premio del milenio del Instituto Clay de Matemáticas.


En 1914, Hardy demostró que existe un número infinito de ceros sobre la recta crítica Re(s) = 1/2. Sin embargo todavía era posible que un número infinito (y posiblemente la mayoría) de los ceros no triviales se encontraran en algún otro lugar sobre la banda crítica. En trabajos posteriores de Hardy y Littlewood en 1921 y de Selberg en 1942 se dieron estimaciones para la densidad promedio de los ceros sobre la línea crítica.


La mayor parte de la comunidad matemática piensa que la conjetura es correcta, aunque otros grandes matemáticos como J. E. Littlewood y Atle Selberg se han mostrado escépticos, si bien el escepticismo de Selberg fue disminuyendo desde sus días de juventud. En un artículo en 1989 sugirió que un análogo debe ser cierto para una clase mucho más amplia de funciones (la clase de Selberg). Trabajos recientes se han concentrado en el cálculo explícito de la localización de grandes cantidades de ceros (con la esperanza de hallar algún contraejemplo) y en el establecimiento de cotas superiores en la proporción de ceros que puedan estar lejos de la línea crítica (con la esperanza de reducirlas a cero).


En septiembre de 2018, Michael Atiyah, laureado con la Medalla Fields (1966), entre otros galardones, presentó una prueba por contradicción de la Hipótesis de Riemann en el Heidelberg Laureate Forum 2018 (Alemania).5​


La hipótesis de Riemann y los números primos
La formulación tradicional de la hipótesis de Riemann oscurece un poco la importancia real de la conjetura. La función zeta de Riemann tiene una profunda conexión con los números primos y Helge von Koch demostró en 1901 que la hipótesis de Riemann es equivalente al considerable refinamiento del teorema de los números primos: Existe una constante C > 0 tal que


{\displaystyle \left|\pi (x)-\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right|\leq C\,{\sqrt {x}}\,\ln(x),}\left|\pi(x) - \int_2^x\frac{dt}{\ln(t)}\right|\le C\,\sqrt{x}\,\ln(x),
para todo x suficientemente grande, donde π(x) es la función contadora de primos y ln(x) es el logaritmo natural de x. Lowell Schoenfeld mostró que se puede tomar C = 1/(8 π) para todo x ≥ 2657.


Los ceros de la función zeta y los números primos satisfacen ciertas propiedades de dualidad, conocidas como fórmulas explícitas, que muestran, usando análisis de Fourier, que los ceros de la función zeta de Riemann pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos.


Más aún, si la conjetura de Hilbert-Polya es cierta, entonces cualquier operador que nos dé las partes imaginarias de los ceros como sus valores propios debe satisfacer:


{\displaystyle \sum _{n}e^{-\beta E_{n}}=\operatorname {tr} [e^{-\beta {\hat {H}}}]=e^{u/2}-e^{-u/2}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}}},} \sum_{n}e^{-\beta E_{n}}=\operatorname{tr}[e^{-\beta \hat H}]=e^{u/2}-e^{-u/2} \frac{d\psi _{0}}{du}-\frac{e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}},
donde tr es la traza del operador (suma de sus valores propios), {\displaystyle \beta \,}\beta \, es un número imaginario y {\displaystyle \psi (x)\,} \psi (x) \, es la función de Chebyshov que nos suma el log(x) sobre los primos y sus potencias enteras, dicha fórmula es una conclusión de la 'fórmula explícita' de V. Mangoldt.6​ Varios operadores propuestos por C. Perelman, J. Macheca y J. García, parecen corroborar los resultados de la conjetura de Hilbert sobre el operador, reproduciendo la parte imaginaria de los ceros.


Cálculo numérico


Valor absoluto de la función-ζ.
En el año 2004 Xavier Gourdon verificó la conjetura de Riemann numéricamente a lo largo de los primeros diez trillones de ceros no triviales de la función. Sin embargo esto no es estrictamente una demostración, numéricamente es más interesante encontrar un contraejemplo, es decir un valor de cero que no cumpla con que su parte real es 1/2, pues esto echaría por los suelos la validez de la conjetura.
Hasta el 2005, el intento más serio para explorar los ceros de la función-ζ, es el ZetaGrid, un proyecto de computación distribuida con la capacidad de verificar billones de ceros por día. El proyecto acabó en diciembre de 2005, y ninguno de los ceros pudo ser identificado como contraejemplo de la hipótesis de Riemann.
Véase también
Teorema de los números primos
Función contador de números primos
Fórmula explícita
Teoría analítica de números
Referencias
Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis - official problem description (PDF) (en inglés), Clay Mathematics Institute, consultado el 21 de febrero de 2011 Reimpreso en (Borwein et al., 2008).
«El problema cuya solución quizás la conozcan en el cielo».
«The Millennium Prize Problems» (en inglés). Consultado el 21 de febrero de 2011.
Riemann, Bertrand (1859). «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse». Consultado el 29 de diciembre de 2008.
Video en YouTube
Explicit formula http://www.wbabin.net/science/moreta8.pdf Archivado el 19 de junio de 2010 en la Wayback Machine.
Enlaces externos
(en) The Riemann Hypothesis in a Nutshell
(en) Andrew Odlyzko: Tables of zeros of the Riemann zeta function
(en) Riemann zeros Quantum chaos
(en) Zetagrid
(en) Algoritmos para calcular los ceros de la función de Riemann, por Michael Rubinstein
Control de autoridades
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Iniciado por guitarraparalela

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Si se demuestra P vs NP, la criptografía por ejemplo podría verse afectada?

En parte sí. El algoritmo que se usa en criptografía es el RSA, y se basa en la imposibilidad de expresar de forma fácil un entero grande como producto de dos primos (considerando que el número pueda ser factorizado de esta forma). Como ves la comprobación de la factorización es muy sencilla (una multiplicación, sin más), pero encontrar esos dos primos a partir del entero solo puede hacerse a base de prueba y error. Si el entero es suficientemente grande, necesitarías milenios de cómputo para encontrar esos primos. Pero si P=NP, entonces significa que debe de haber un algoritmo capaz de factorizar en dos primos en tiempo polinomial.



Hay algoritmos cuánticos sin embargo que se pueden cargar por completo el RSA, o sea que pueden factorizar un entero enorme en primos en un tiempo aceptable.

Iniciado por dinpolero

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En parte sí. El algoritmo que se usa en criptografía es el RSA, y se basa en la imposibilidad de expresar de forma fácil un entero grande como producto de dos primos (considerando que el número pueda ser factorizado de esta forma). Como ves la comprobación de la factorización es muy sencilla (una multiplicación, sin más), pero encontrar esos dos primos a partir del entero solo puede hacerse a base de prueba y error. Si el entero es suficientemente grande, necesitarías milenios de cómputo para encontrar esos primos. Pero si P=NP, entonces significa que debe de haber un algoritmo capaz de factorizar en dos primos en tiempo polinomial.



Hay algoritmos cuánticos sin embargo que se pueden cargar por completo el RSA, o sea que pueden factorizar un entero enorme en primos en un tiempo aceptable.

Brutal. Aunque es obvio que es imposible de demostrar (al menos con las herramientas que tenemos hoy en día).

Ya lo decía yo. Enfermo. Estas enfermo.

Que todo es un puto invento leñe. Mira hipótesis de mis cojones: si a la función compleja del peso de mis huevos fluctuante a lo largo de la semana entre descarga de lefa y recarga de leche, le saco el límite cuando la porra se me pone mirando al techo la derivada de esa pendiente de mi porra da cero. Pero no veis que lo de Riemann y todo lo demás son inventos chorras? Si tiene solución es una ley universal y si no tienes un teorema fundamental de las matemáticas. Todo chorradas